[{"content":"以下是关于一部短片的创作构思。影片的主人公是一位三十多岁、漂泊在上海的人：为生计走上家教之路，又以伪造的经历冒充名校教师。他勤勉、聪明、被需要，生活日渐向好，却始终走不出夜里的迷茫。这份构思依次从创作主旨、时代语境、人物与故事、神话喻体四个层面展开。\n一、创作主旨：现代人的迷失 本片旨在探讨现代人精神困境中的一种深层形态：自我的沉沦与迷失。\n现代人的精神困境，常以焦虑、抑郁、倦怠、空虚等形态被谈论；本片所关心的，是这些形态之下一个更根本的问题：若一个人终日忙碌、行动有效，循着社会普遍认可的\u0026quot;成功\u0026quot;方式生活，他能否确证自我的同一性？茫茫人海中的你我，乃至那些过着看似体面生活的人，是否都该追问同一个问题：自我的真实性，是否已在现代生活的运转中被静默地消耗殆尽？\n需辨明的是，此处\u0026quot;迷失\u0026quot;不是指心理学意义上的目标受挫或情绪低落，而是指存在论意义上的状况——主体与自身的同一性发生断裂：人仍然活着、行动着、被需要着，但驱动其行动的那个\u0026quot;自我\u0026quot;，已不再是他出发时的那个自我，甚至不再是他以为的那个自我。\n这一迷失并非个别生命的偶然际遇，而具有文明层面的普遍性。在前现代，自我由传统与共同体预先给定；现代性则许诺人成为自身的主人与创造者——自我从此不再是一种被继承的遗产，而是一项需要人终身经营的事业。人前所未有地自由，也前所未有地负有\u0026quot;成为自己\u0026quot;的义务。然而，当自我被如此彻底地对象化——成为必须被证明、展示、优化的对象——它便开始脱离主体，沦为一件事与他者目光同构的、表演性的造物。\n由此，现代人的迷失呈现为一个普遍的悖论：人越是致力于成为自己，越是失去自己；越是成功地塑造自我，越是彻底地远离自我。\n基于此，本片以一位城市现代人主人公为切口，记录他如何在看似顺遂的生命中与自身渐行渐远，并从这一具体处境出发，追问现代人的自我性本身。为保证艺术的开放性和探讨的本质性，本片在创作中回避社会批判与道德评判。\n二、时代语境：官能的让渡 若问现代人的迷失何以成为普遍的结构性状况，须先考察其得以发生的时代语境。这一语境最显著的特征，是现代技术对人之官能的异化：人感受世界、思考世界、欲求世界的基本官能，正逐一让渡于外部的供给体系。\n其一，感受的让渡。现代技术以持续的、高强度的感官刺激占据人的注意力：即时娱乐、短视频与算法推送构成不间断的刺激流，其供给之密集、节奏之迅速，远超主动感受所需的耐心。人被喂给感受，而非去感受：刺激替代了体验，情绪的即时满足替代了情感的深度沉浸。当一切都被预先包装成易于消费的形式，人对外界的好奇、惊讶与共鸣便趋于萎缩。\n其二，思虑的让渡。感受的让渡之后，是思虑的让渡。此前，人尚须自行完成思考；而人工智能的成熟，使答案唾手可得、写作与判断均可委托。需辨明的是，思考的价值不止于获得答案。帕斯卡尔喻人为\u0026quot;一根能思想的苇草\u0026quot;，其意正在于：人的尊严不在获得结果，而在进行思考本身——疑问的提出、怀疑的展开、沉思的停留，是人确立自我与意义的重要方式。为求省力、舒适与迅捷，这些环节被不断外包，思考作为官能被长久地闲置，渐至退化。\n其三，目标感的让渡。第三重、亦是最根本的一重让渡，是目标与价值的让渡。当人不再凭感官亲近世界，不再凭思虑审视自身，便丧失了自行确立方向的能力：何为值得过的生活、何为更高的目标，皆由外部供给——名利、被认可、消费意义上的成功。社会不再以禁令约束人，而是以\u0026quot;自我实现\u0026quot;之名，将一切外部要求内化为自我要求；人以为自己在实现自己，实则以外部标准剥削自己。于是，行色匆匆的现代人通常并不缺乏目标，而是并不拥有真正属于自己的目标。\n三重让渡由此构成现代人存在的日常形态：一个人并非无事可做，而是所做之事并不出于自身；并非没有感受，而是感受皆由外部供给；并非不再思考，而是思考已无必要——在这样一个物质上极度丰盛、感受上极度贫乏的时代，自我的沉沦便具有了高度普遍性。\n三、人物设定与故事核心 主人公是北方人，研究生毕业后漂泊于上海。他没有特别想做的事，也没有非做不可的事——毕业之后，便这样拖着。受迫于生计，他需要一个赚钱的方法。经过打听，他选择了家教——这是一条相对容易的赚钱方式。为进入这个市场，他伪造了教学经历，冒充名校在职教师的身份。\n其后，他的生活慢慢好起来：凭借外向热情的天分，他与学生们打成一片；学生越来越多，见的家长越来越多，他日益圆滑世故，应对各种处境愈发娴熟；教学水平提高，逐渐在圈内有了名气，收入也随之增加。他勤勉、聪明、被需要——虽然最初的履历是假的，但无论如何，他算一个好老师。\n故事的核心转折，发生在一个看似不相干的场合。过年回老家，他在活动中心和一个当地老头打乒乓球。休息间聊家常时，他说自己平时在上海工作，老头忽然说：\u0026ldquo;你这个打球，就像是上海的人啊。\u0026rdquo;\n这句话触发了他的思考：自己是怎么成为上海人的？这个变化就这么发生了，在他日复一日赶课、应对家长、打磨言谈的间隙里完成了。想着想着，思维开始发散，无数画面浮上来：他和女友出去旅行的日子，那些靠家教挣来的钱支撑起的时光，他带过的一个个学生，还有家长们的客套与感激；再往前，还有老家的父母，发小，那些留在北方的日子。\n回到上海，他心里多了一丝说不清的惆怅。一天晚上，他和大学里的一位好友打完球，出门闲逛，逛到一家便利店累了，坐下闲聊聊到了各自的迷茫。\n萨特提出过\u0026quot;自欺\u0026quot;的概念：人不是被角色压迫，而是把自己彻底交予角色，借此取消自身作为自由主体的位置。主人公的悲剧或许不在于身份被揭穿，而在于身份永远不会被揭穿——于是他失去了获得其他身份的可能性。人本应始终保有\u0026quot;不是自己所是\u0026quot;的自由，可在走向未来的过程中，他无法再\u0026quot;不是这个老师\u0026quot;，心中对自我的迷茫，由此而来。\n四、选择喻体建立文化纵深 前三节分别确立了本片的主题、语境与人物。然而，现代人的写实的故事太日常和无声，本片因此选择以神话传说为喻体，为故事建立文化纵深——通过远古的意象为短片增添深重的命运感，以喻体提供与人物命运结构对应的潜文本。\n暂定结合神话故事：吴刚伐桂。唐·段成式《酉阳杂俎·天咫》载：\u0026ldquo;旧言月中有桂，有蟾蜍。故异书言：月桂高五百丈，下有一人，常斫之，树创随合。人姓吴，名刚，西河人，学仙有过，谪令伐树。\u0026rdquo;\n该神话在通行接受中多与中秋团圆的暖意相混，但本片在选材时另取他意，旨在表现与影片高度同构的四重结构：\n其一，\u0026ldquo;学仙有过\u0026rdquo;。吴刚之谪，源于对升格的追求与其中的过失：追求更高境界与犯下过错密不可分，恰对应主人公对身份升格的追求——他向往\u0026quot;名校在职教师\u0026quot;，渴望用轻松的方式挣钱。\n其二，\u0026ldquo;谪令伐树\u0026rdquo;。放逐的形态不是囚禁，而是永无终点的劳作，对应主人公日复一日、收入渐增却无意义的教学生涯。虽然他有一份体面的工作，有各方面\u0026quot;美满\u0026quot;的生活，可在夜深人静之时，总感到迷茫和空虚。\n其三，\u0026ldquo;树创随合\u0026rdquo;。伤口的即时愈合，使劳动永远无法完成。主人公的家教事业中的每一次成功（新学生、新收入、新口碑）都能短暂填补自我的空虚。\n其四，\u0026ldquo;月\u0026rdquo;。清冷、孤寂、与人间相隔，对应影片的美学基调：在主人公的帮助下，学生因他进步，家长对他感激，他的确做了好事。主人公内心的痛苦是非道德性的：他温暖了所有人，唯独温暖不了自己；他留在月寒之中。\n","permalink":"https://northvision.cn/posts/short-film-concept/","summary":"\u003cp\u003e以下是关于一部短片的创作构思。影片的主人公是一位三十多岁、漂泊在上海的人：为生计走上家教之路，又以伪造的经历冒充名校教师。他勤勉、聪明、被需要，生活日渐向好，却始终走不出夜里的迷茫。这份构思依次从创作主旨、时代语境、人物与故事、神话喻体四个层面展开。\u003c/p\u003e","title":"关于短片的创作构思"},{"content":"开场 · The question I was asked \u0026ldquo;Do you think free will is real, or is everything we do just a chain of cause and effect?\u0026rdquo;\n我的回答 · My answer 高中时我就反复想过这个问题。很难回答，但我确定的是：我无法预测自己未来的许多举动——比如今晚聊得开心，我可能回你\u0026quot;haha\u0026quot;，也可能回\u0026quot;hhh\u0026quot;，谁知道呢。我不相信每个未来事件都有一个既定而精确的结果。\nAs a high-schooler I turned this question over many times. It\u0026rsquo;s hard to answer, but what I\u0026rsquo;m sure of is that I can\u0026rsquo;t foresee much of what I\u0026rsquo;ll do — tonight, for example, I might reply \u0026ldquo;haha\u0026rdquo; or \u0026ldquo;hhh\u0026rdquo; or anything at all. I don\u0026rsquo;t believe every future event has a fixed, exact outcome.\n我记得休谟质疑过因果律。何况我们人类不可能把握一件事的所有原因，也就永远无法真正断定它产生的后果——我们对因果的理解，只能是一种进行时的努力，而不是能完成的事。所以我相信，自由意志至少有几分是真的；而信它本身，会带来积极的意义。既然两个答案都无法定论，与其相信\u0026quot;一切早已注定\u0026quot;这个灰暗的答案，不如相信我们拥有自由意志，能按自己的愿望去参与世界的建设。\nI remember Hume questioned causation itself; and since we humans can never grasp all the causes of a thing, we can never truly pin down its effect — our understanding of cause and effect is always an ongoing effort, never a finished task. So I believe free will is real, at least in part — and believing it carries real meaning. If the two answers are equally undecidable, I\u0026rsquo;d rather believe in our own free will than in the bleak idea that everything was already written.\n我想到的那段话 · The passage it brought back 大约四个月前，我在日记里摘抄过《小王子》中的一段话。\n\u0026quot;…if you tame me, then we shall need each other. To me, you will be unique in all the world. To you, I shall be unique in all the world…\u0026quot;\n\u0026ldquo;It will be as if the sun came to shine on my life. I shall know the sound of a step that will be different from all the others. Other steps send me hurrying back underneath the ground. Yours will call me, like music, out of my burrow. And then look: you see the grain-fields down yonder? I do not eat bread. Wheat is of no use to me. The wheat fields have nothing to say to me. And that is sad. But you have hair that is the colour of gold. Think how wonderful that will be when you have tamed me! The grain, which is also golden, will bring me back the thought of you. And I shall love to listen to the wind in the wheat…\u0026rdquo;\n\u0026ldquo;One only understands the things that one tames. … If you want a friend, tame me.\u0026rdquo;\n这段文字构建了一个充满美感的世界：一个人被另一个人温柔地看见，从今往后在这个世界上变得独一无二。狐狸说，这就叫\u0026quot;驯养\u0026quot;。\nThis passage builds a world full of beauty: a person gently seen by another, and from then on unique in all the world. That, the fox says, is what \u0026ldquo;taming\u0026rdquo; means.\n随后的延伸 · The digression 于是我们聊到了现代人的处境：日复一日的空虚麻木，一种仿佛在一点点死去的钝痛。哲学和理性能帮我们看清问题，却不能直接带来更好的生活。\u0026ldquo;上帝已死\u0026rdquo;，我们却找不到新的集体依靠。这个时代塞满了即时的刺激与多样的娱乐，另一面却是原子化的孤独。而《小王子》里那种缓慢、温柔、静谧的\u0026quot;驯养\u0026quot;，或许正是对抗这一切的一种好方式——在一个什么都讲究快的时代，愿意花时间去慢慢联结一个人，本身就是一种温柔的反抗。\nAnd we drifted to the modern condition: the daily emptiness, the dull ache of slowly fading. Philosophy lets us see clearly, yet theory alone cannot hand us a better life. \u0026ldquo;God is dead,\u0026rdquo; and still we find no new collective anchor. Ours is an age of endless instant stimulation — and, on the other side, of deep atomized loneliness. Maybe the slow, gentle, quiet \u0026ldquo;taming\u0026rdquo; in The Little Prince is a good way to hold against all this — in an age that worships speed, choosing to spend time slowly bonding with one person is itself a gentle rebellion.\n","permalink":"https://northvision.cn/posts/free-will-little-prince-modernity/","summary":"\u003ch2 id=\"开场--the-question-i-was-asked\"\u003e开场 · The question I was asked\u003c/h2\u003e\n\u003cblockquote\u003e\n\u003cp\u003e\u0026ldquo;Do you think free will is real, or is everything we do just a chain of cause and effect?\u0026rdquo;\u003c/p\u003e\n\u003c/blockquote\u003e\n\u003ch2 id=\"我的回答--my-answer\"\u003e我的回答 · My answer\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e高中时我就反复想过这个问题。很难回答，但我确定的是：我无法预测自己未来的许多举动——比如今晚聊得开心，我可能回你\u0026quot;haha\u0026quot;，也可能回\u0026quot;hhh\u0026quot;，谁知道呢。我不相信每个未来事件都有一个既定而精确的结果。\u003c/p\u003e","title":"今夜漫谈：自由意志、《小王子》与现代性"},{"content":"前言 八月中旬，我买了一台腾讯云轻量服务器（Ubuntu 24.04，2 核 3.6G），折腾了两天，实现了三个目标：\n一个自己的博客 一个随时在线的 AI 助手（接入 Telegram） 一套内外网服务的基础设施（代理、穿透、备份） 这篇文章记录最终配置和过程中踩过的坑，供自己复盘，也供有同样需求的人参考。\n博客：Hugo + PaperMod + Caddy 博客选了 Hugo + PaperMod 主题，静态站点，部署简单、速度快。\nCaddy 反向代理，自动申请和续期 HTTPS 证书，无需手动配置 公式渲染用 KaTeX 本地托管（静态文件放在 static/katex/），不依赖 CDN——国内访问 CDN 经常失败，本地托管一劳永逸 踩过的坑：\nHugo goldmark 的 passthrough 配置：$$...$$（块级公式）和 $...$（行内公式）都要在 hugo.yaml 里显式声明，否则公式不渲染 typographer 必须关闭：实测确认，开启后正文和行内公式里的 --、---、... 会被自动替换成 Unicode 字符（en-dash、省略号等），直接破坏数学公式 KaTeX 的特殊符号（≠、∥ 等）需要对应字体文件（static/katex/fonts/），只放 JS/CSS 不够 部署脚本很简单：hugo build 生成静态文件，rsync 到 Web 根目录，一条命令完成。\n代理：mihomo 服务器在国内，访问 Telegram、GitHub 等需要代理。选用了 mihomo（Clash Meta 内核），机场订阅节点。\n本地混合代理端口（HTTP + SOCKS5） 另外开了一个 SOCKS5 监听在 0.0.0.0，供局域网/外部设备使用 系统级代理变量写在 /etc/profile.d/proxy.sh，新终端自动生效 坑：systemd 服务不读 profile Hermes 的 gateway 是 systemd user service 运行的，systemd 不加载 /etc/profile.d/proxy.sh，所以 gateway 进程没有代理环境变量，连不上 Telegram。\n一开始直接改 service 文件加环境变量，结果 hermes gateway restart 会重新生成 service 文件，改动被覆盖。正解是用：\nsystemctl --user set-environment http_proxy=http://127.0.0.1:7890 systemctl --user set-environment https_proxy=http://127.0.0.1:7890 systemctl --user set-environment all_proxy=http://127.0.0.1:7890 注意：服务器重启后这些变量会丢，需要重新注入。\nAI 助手：Hermes + Telegram AI 助手用的是 Hermes Agent（开源，v0.20.1），通过 Telegram bot 接入，手机随时能聊。\n渠道最初试过微信，不稳定，果断切 Telegram 语音识别：本地 faster-whisper（base 模型），免费不限量 语音合成：Edge TTS（微软免费），选了「晓伊」音色（zh-CN-XiaoyiNeural），活泼可爱 定时任务：早上 9 点每日计划提醒、晚上 8 点英语聊天（话题随机抽取）、晚上 23:58 催睡觉 模型与多模态 最初用 OpenRouter 聚合 API，DeepSeek 为主模型。后来发现 OpenRouter 按账单地址封锁 OpenAI / Anthropic / Google 的模型（403），于是切换到 OpenCode。\nOpenCode 分两个套餐，付费模式不同：\nGo 套餐：订阅制（$10/月），模型价格便宜，但 GPT 和 Grok 在中国大陆不可用 Zen 套餐：按量计费，可用 Claude 系列（同样不能用 GPT 和 Gemini），贵一些，需要时再买 我主力用 Go 套餐的 deepseek-v4-flash，Claude 按需走 Zen。\n用脚本实测了 OpenCode Go 全部模型的多模态能力，结论：\n能力 结论 图片理解 只有 4 个模型支持：minimax-m3 / kimi-k3 / kimi-k2.7-code / mimo-v2.5 图片生成 全部不支持（无端点） 语音合成 全部不支持（无端点） 音频输入 全部不支持 最终配置：\n主模型：deepseek-v4-flash（OpenCode Go） 视觉模型：minimax-m3 语音识别：本地 faster-whisper 语音合成：Edge TTS 图片生成的免费方案也实测过：\nHugging Face 免费 API：已经砍掉了全部生图模型，不可用 Pollinations.ai：免费、无需 key、2-3 秒出图，可用（image.pollinations.ai/prompt/描述词） 基础设施 frps 内网穿透（frp 服务端），systemd 托管开机自启 GitHub 备份：博客源码推到 GitHub 仓库，避免服务器故障丢源码 防火墙：UFW 只开放必要的端口（SSH、HTTP/HTTPS、代理、穿透等） 最终配置总表 项目 方案 服务器 腾讯云轻量 Ubuntu 24.04，2核 3.6G 博客 Hugo + PaperMod + Caddy + KaTeX 本地 代理 mihomo（本地混合代理 + SOCKS5） AI 助手 Hermes Agent v0.20.1 + Telegram 主模型 deepseek-v4-flash（OpenCode Go） 视觉 minimax-m3（OpenCode Go） 语音识别 本地 faster-whisper（base） 语音合成 Edge TTS（晓伊） 图片生成 Pollinations.ai（备用） 内网穿透 frps 源码备份 GitHub ","permalink":"https://northvision.cn/posts/server-and-ai-setup/","summary":"\u003ch2 id=\"前言\"\u003e前言\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e八月中旬，我买了一台腾讯云轻量服务器（Ubuntu 24.04，2 核 3.6G），折腾了两天，实现了三个目标：\u003c/p\u003e\n\u003col\u003e\n\u003cli\u003e一个自己的博客\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e一个随时在线的 AI 助手（接入 Telegram）\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e一套内外网服务的基础设施（代理、穿透、备份）\u003c/li\u003e\n\u003c/ol\u003e\n\u003cp\u003e这篇文章记录最终配置和过程中踩过的坑，供自己复盘，也供有同样需求的人参考。\u003c/p\u003e","title":"服务器与我的 AI 助手：从零搭建到多模态全配置"},{"content":"关于本站 梅岭随记，一个个人博客，用于记录学习笔记、技术实践和一些思考。\n关于我 十布，05 年生，医学院在读。信息竞赛出身，对计算机科学有持续的兴趣，尤其关注 AI 领域。业余爱好包括：钢琴、乒乓球、阅读。对哲学与古典音乐有持续的兴趣，也在和朋友合作研究短片电影创作。\n内容方向 学科笔记（哲学、数学、AI 等） 技术实践与折腾记录 随笔与思考 联系方式 GitHub: github.com/vergica Email: 2770295960@qq.com ","permalink":"https://northvision.cn/about/","summary":"\u003ch2 id=\"关于本站\"\u003e关于本站\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e梅岭随记\u003c/strong\u003e，一个个人博客，用于记录学习笔记、技术实践和一些思考。\u003c/p\u003e\n\u003ch2 id=\"关于我\"\u003e关于我\u003c/h2\u003e\n\u003cp\u003e十布，05 年生，医学院在读。信息竞赛出身，对计算机科学有持续的兴趣，尤其关注 AI 领域。业余爱好包括：钢琴、乒乓球、阅读。对哲学与古典音乐有持续的兴趣，也在和朋友合作研究短片电影创作。\u003c/p\u003e","title":"关于"},{"content":"一、连续性判定：放缩 + 夹逼（习题 7.1.3(3)） 题目 设\n$$z=\\begin{cases}\\dfrac{\\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}, \u0026 x^2+y^2\\neq 0\\\\[4pt] 0, \u0026 x^2+y^2=0\\end{cases}$$讨论 $z$ 在原点 $(0,0)$ 处是否连续。\n思路 分段函数在分段点处讨论连续性，就是验证：当 $(x,y)\\to(0,0)$ 时，$z(x,y)$ 的极限是否等于 $z(0,0)=0$。\n看到形如 $\\dfrac{\\sin(\\text{小量})}{\\text{更小量}}$ 的结构，标准动作是：\n用 $|\\sin t|\\le|t|$ 把分子的三角函数去掉； 用三角不等式把绝对值拆开； 引入 $\\rho=\\sqrt{x^2+y^2}$，把每个绝对值项都统一归到 $\\rho$； 用夹逼定理得极限。 详细推导 第一步，用 $|\\sin t|\\le |t|$：\n$$\\left|\\frac{\\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}\\right|\\le\\frac{|x^3+y^3|}{x^2+y^2}$$第二步，用三角不等式 $|A+B|\\le|A|+|B|$：\n$$|x^3+y^3|\\le|x|^3+|y|^3$$第三步，引入 $\\rho=\\sqrt{x^2+y^2}$，有 $|x|\\le\\rho$，$|y|\\le\\rho$，所以\n$$|x|^3\\le\\rho^3,\\quad |y|^3\\le\\rho^3$$第四步，把所有项归到 $\\rho$：\n$$0\\le\\frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\\le\\frac{2\\rho^3}{\\rho^2}=2\\rho$$当 $(x,y)\\to(0,0)$ 时 $\\rho\\to 0$，于是 $2\\rho\\to 0$。\n由夹逼定理：\n$$\\lim_{(x,y)\\to(0,0)}\\frac{\\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}=0=z(0,0)$$故 $z$ 在原点处连续。\n小结 关键技巧是「统一量纲」：分子里出现了三次方 $x^3+y^3$，分母是二次方 $x^2+y^2$，两者次方不一致，必须用一个公共尺度 $\\rho$ 统一起来。一旦都归到 $\\rho$ 上，比较谁消失得更快就一目了然了。\n二、混合偏导不等：定义法处理分段（习题 7.2.9） 题目 设\n$$f(x,y)=\\begin{cases}\\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, \u0026 x^2+y^2\\neq 0\\\\[4pt] 0, \u0026 x^2+y^2=0\\end{cases}$$求 $f'_x(0,y)$ 与 $f'_y(x,0)$，并证明 $f''_{xy}(0,0)\\neq f''_{yx}(0,0)$。\n思路 分段函数在原点附近的偏导必须用定义求，不能直接套商法则：原点的邻域里既有点使 $f$ 走分式段、也有原点本身走常数段，必须按定义做。\n具体做法是：\n先求一阶偏导 $f'_x(0,y)$：固定 $y$，让 $x$ 沿 $x$ 轴趋向原点； 再求 $f'_y(x,0)$：固定 $x$，让 $y$ 沿 $y$ 轴趋向原点； 在得到的一元函数上继续求导。 第一步：求 $f'_x(0,y)$ 按偏导数定义：\n$$f'_x(0,y)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}$$分两种情况讨论。\n情况 A：$y\\neq 0$。这时只要 $h\\neq 0$，点 $(h,y)\\neq(0,0)$，代入分式段：\n$$\\frac{f(h,y)-0}{h}=\\frac{hy(h^2-y^2)}{h(h^2+y^2)}=\\frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}$$令 $h\\to 0$：\n$$\\lim_{h\\to 0}\\frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}=\\frac{y(0-y^2)}{0+y^2}=\\frac{-y^3}{y^2}=-y$$情况 B：$y=0$。这时 $f(h,0)=0$，所以\n$$\\frac{f(h,0)-0}{h}=\\frac{0}{h}=0$$与 $-y$ 在 $y=0$ 处的取值一致。\n合并得\n$$f'_x(0,y)=-y\\quad(\\text{对所有 }y)$$第二步：求 $f'_y(x,0)$ 按偏导数定义：\n$$f'_y(x,0)=\\lim_{k\\to 0}\\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k}$$当 $x\\neq 0$、$k\\neq 0$ 时：\n$$\\frac{f(x,k)-0}{k}=\\frac{xk(x^2-k^2)}{k(x^2+k^2)}=\\frac{x(x^2-k^2)}{x^2+k^2}$$令 $k\\to 0$：\n$$\\lim_{k\\to 0}\\frac{x(x^2-k^2)}{x^2+k^2}=\\frac{x\\cdot x^2}{x^2}=x$$当 $x=0$ 时同样为 0，故\n$$f'_y(x,0)=x\\quad(\\text{对所有 }x)$$第三步：求二阶混合偏导 $f''_{xy}(0,0)$：先把 $f'_x(0,y)=-y$ 在 $y=0$ 处对 $y$ 求导：\n$$f''_{xy}(0,0)=\\lim_{k\\to 0}\\frac{f'_x(0,k)-f'_x(0,0)}{k}=\\lim_{k\\to 0}\\frac{-k-0}{k}=-1$$$f''_{yx}(0,0)$：先把 $f'_y(x,0)=x$ 在 $x=0$ 处对 $x$ 求导：\n$$f''_{yx}(0,0)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f'_y(h,0)-f'_y(0,0)}{h}=\\lim_{h\\to 0}\\frac{h-0}{h}=1$$于是 $f''_{xy}(0,0)=-1\\neq 1=f''_{yx}(0,0)$。证毕。\n小结 教材里\u0026quot;二阶混合偏导相等\u0026quot;是有前提的（连续性）。本题是一个经典反例。看到分段函数，首先应当想到「定义法求导」：分母里的 $(x^2+y^2)$ 在原点处为零，公式 $\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}=\\dfrac{\\partial(\\text{分子})/\\partial x\\cdot\\text{分母}-\\text{分子}\\cdot\\partial(\\text{分母})/\\partial x}{\\text{分母}^2}$ 在原点处用不上。\n三、矩阵视角下的梯度变换（例题 7.3.9） 题目 设二元函数 $u$ 具有连续偏导数，把\n$$\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^2+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^2$$化为极坐标 $(r,\\theta)$ 下的形式。\n思路 直接展开平方和也能做，但表达式会很乱。更高效的做法是：\n把链式法则写成矩阵形式； 观察这个矩阵能否化为正交矩阵； 一旦矩阵正交，向量长度平方在变换前后相等，结论直接出来。 第一步：建立链式法则的矩阵形式 设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$。由链式法则：\n$$\\begin{cases}\\dfrac{\\partial u}{\\partial r}=\\cos\\theta\\cdot\\dfrac{\\partial u}{\\partial x}+\\sin\\theta\\cdot\\dfrac{\\partial u}{\\partial y}\\\\[6pt] \\dfrac{\\partial u}{\\partial\\theta}=-r\\sin\\theta\\cdot\\dfrac{\\partial u}{\\partial x}+r\\cos\\theta\\cdot\\dfrac{\\partial u}{\\partial y}\\end{cases}$$写成矩阵：\n$$\\begin{pmatrix}\\partial u/\\partial r\\\\ \\partial u/\\partial\\theta\\end{pmatrix}=\\underbrace{\\begin{pmatrix}\\cos\\theta \u0026 \\sin\\theta\\\\ -r\\sin\\theta \u0026 r\\cos\\theta\\end{pmatrix}}_{J}\\begin{pmatrix}\\partial u/\\partial x\\\\ \\partial u/\\partial y\\end{pmatrix}$$第二步：把第二行除以 $r$ 把第二行除以 $r$，让第二行变成\u0026quot;梯度\u0026quot;的另一分量形式：\n$$\\begin{pmatrix}\\partial u/\\partial r\\\\ (1/r)\\partial u/\\partial\\theta\\end{pmatrix}=\\underbrace{\\begin{pmatrix}\\cos\\theta \u0026 \\sin\\theta\\\\ -\\sin\\theta \u0026 \\cos\\theta\\end{pmatrix}}_{R_\\theta}\\begin{pmatrix}\\partial u/\\partial x\\\\ \\partial u/\\partial y\\end{pmatrix}$$第三步：观察矩阵 $R_\\theta$ $R_\\theta=\\begin{pmatrix}\\cos\\theta \u0026 \\sin\\theta\\\\ -\\sin\\theta \u0026 \\cos\\theta\\end{pmatrix}$ 是一个二维旋转矩阵，它满足\n$$R_\\theta^{\\mathsf T}R_\\theta=I$$也就是正交矩阵。正交变换保持向量长度平方不变。\n第四步：写出最终等式 把上面的矩阵等式记作 $v=R_\\theta g$，其中 $g=(\\partial u/\\partial x,\\partial u/\\partial y)^{\\mathsf T}$，$v=(\\partial u/\\partial r,(1/r)\\partial u/\\partial\\theta)^{\\mathsf T}$。由正交性：\n$$\\|v\\|^2=\\|R_\\theta g\\|^2=\\|g\\|^2$$即\n$$\\boxed{\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^2+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^2=\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial r}\\right)^2+\\frac{1}{r^2}\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial\\theta}\\right)^2}$$验证 可以用 $u=x=r\\cos\\theta$ 来验证：\n左边：$(\\partial u/\\partial x)^2+(\\partial u/\\partial y)^2=1^2+0^2=1$； 右边：$(\\partial u/\\partial r)^2+(1/r)^2(\\partial u/\\partial\\theta)^2=(\\cos\\theta)^2+(1/r)^2(-r\\sin\\theta)^2=\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$。 左右相等，符合。\n小结 这道题的核心动作是「除以 $r$」。看上去只调整了一行，但这一调整让矩阵变成了正交形式，正交性的几何意义直接给出结果。\n四、Laplacian 在柱坐标下的推导（习题 7.3.21(1)） 题目 设三元函数 $u(x,y,z)$ 具有二阶连续偏导数，证明在 $x=r\\cos\\theta,\\,y=r\\sin\\theta,\\,z=z$ 下成立\n$$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 u}{\\partial y^2}+\\frac{\\partial^2 u}{\\partial z^2}=\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\!\\left(r\\frac{\\partial u}{\\partial r}\\right)+\\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 u}{\\partial\\theta^2}+\\frac{\\partial^2 u}{\\partial z^2}$$思路 把 $z$ 部分单独处理（$z$ 在两种坐标下都是自身），核心是把 $xy$ 平面的 Laplacian $\\partial^2 u/\\partial x^2+\\partial^2 u/\\partial y^2$ 化为柱坐标形式。\n具体步骤：\n用第 3 题的逆变换把 $u_x$、$u_y$ 用 $u_r$、$u_\\theta$ 表达； 把算子 $\\partial/\\partial x$、$\\partial/\\partial y$ 也写成对 $r$、$\\theta$ 求导的算子； 把算子套到 $u_x$、$u_y$ 上，展开相加； 用 $\\sin^2\\theta+\\cos^2\\theta=1$ 化简交叉项。 第一步：写出 $u_x$、$u_y$（用 $u_r$、$u_\\theta$ 表示） 由第 3 题推导中的逆变换（验证见下面小框），\n$$u_x=\\cos\\theta\\,u_r-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_\\theta,\\qquad u_y=\\sin\\theta\\,u_r+\\frac{\\cos\\theta}{r}u_\\theta$$逆变换的来源：上一步矩阵 $J=\\begin{pmatrix}\\cos\\theta \u0026 \\sin\\theta\\\\ -r\\sin\\theta \u0026 r\\cos\\theta\\end{pmatrix}$ 的行列式为 $r$，逆矩阵为\n$$J^{-1}=\\begin{pmatrix}\\cos\\theta \u0026 -\\sin\\theta/r\\\\ \\sin\\theta \u0026 \\cos\\theta/r\\end{pmatrix}$$两边乘以 $J^{-1}$，得到 $u_x,u_y$ 的表达式。\n第二步：写出算子 $\\partial/\\partial x$、$\\partial/\\partial y$ 由 $\\dfrac{\\partial r}{\\partial x}=\\dfrac{x}{r}=\\cos\\theta$，$\\dfrac{\\partial\\theta}{\\partial x}=-\\dfrac{y}{r^2}=-\\dfrac{\\sin\\theta}{r}$ 等，可推出\n$$\\frac{\\partial}{\\partial x}=\\cos\\theta\\frac{\\partial}{\\partial r}-\\frac{\\sin\\theta}{r}\\frac{\\partial}{\\partial \\theta}$$$$\\frac{\\partial}{\\partial y}=\\sin\\theta\\frac{\\partial}{\\partial r}+\\frac{\\cos\\theta}{r}\\frac{\\partial}{\\partial \\theta}$$ 验证：把 $\\partial/\\partial x$ 套到 $u$ 上，$\\partial u/\\partial x=(\\partial r/\\partial x)\\partial u/\\partial r+(\\partial\\theta/\\partial x)\\partial u/\\partial\\theta=\\cos\\theta\\,u_r-\\dfrac{\\sin\\theta}{r}u_\\theta=u_x$。与第一步的 $u_x$ 表达式一致。$\\partial/\\partial y$ 同理。\n第三步：算 $u_{xx}$ 把 $\\partial/\\partial x$ 套到 $u_x$ 上：\n$$u_{xx}=\\left(\\cos\\theta\\frac{\\partial}{\\partial r}-\\frac{\\sin\\theta}{r}\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\right)\\!\\left(\\cos\\theta\\,u_r-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_\\theta\\right)$$先算里面两个偏导：\n$$\\frac{\\partial}{\\partial r}\\!\\left(\\cos\\theta\\,u_r-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_\\theta\\right)=\\cos\\theta\\,u_{rr}+\\frac{\\sin\\theta}{r^2}u_\\theta-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_{r\\theta}$$（解释：对 $\\cos\\theta\\,u_r$ 求导，$\\cos\\theta$ 视作常数，得 $\\cos\\theta\\,u_{rr}$；对 $-(\\sin\\theta/r)u_\\theta$ 求导，用乘积法则：$\\dfrac{d}{dr}\\!\\left(\\dfrac{\\sin\\theta}{r}\\right)=-\\dfrac{\\sin\\theta}{r^2}$，所以 $-(\\sin\\theta/r)u_\\theta$ 的导数为 $\\dfrac{\\sin\\theta}{r^2}u_\\theta-\\dfrac{\\sin\\theta}{r}u_{r\\theta}$。）\n$$\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\!\\left(\\cos\\theta\\,u_r-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_\\theta\\right)=-\\sin\\theta\\,u_r+\\cos\\theta\\,u_{r\\theta}-\\frac{\\cos\\theta}{r}u_\\theta-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_{\\theta\\theta}$$（解释：对 $\\cos\\theta\\,u_r$ 求导得 $-\\sin\\theta\\,u_r+\\cos\\theta\\,u_{r\\theta}$；对 $-(\\sin\\theta/r)u_\\theta$ 求导，$\\dfrac{d}{d\\theta}(\\sin\\theta/r)=\\cos\\theta/r$，所以这部分导数为 $-(\\cos\\theta/r)u_\\theta-(\\sin\\theta/r)u_{\\theta\\theta}$。）\n代回算子展开式：\n$$ \\begin{aligned} u_{xx}\u0026=\\cos\\theta\\!\\left(\\cos\\theta\\,u_{rr}+\\frac{\\sin\\theta}{r^2}u_\\theta-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_{r\\theta}\\right)\\\\ \u0026\\quad -\\frac{\\sin\\theta}{r}\\!\\left(-\\sin\\theta\\,u_r+\\cos\\theta\\,u_{r\\theta}-\\frac{\\cos\\theta}{r}u_\\theta-\\frac{\\sin\\theta}{r}u_{\\theta\\theta}\\right) \\end{aligned} $$展开得到 7 项：\n$$ \\begin{aligned} u_{xx}\u0026=\\cos^2\\theta\\,u_{rr}+\\frac{\\cos\\theta\\sin\\theta}{r^2}u_\\theta-\\frac{\\cos\\theta\\sin\\theta}{r}u_{r\\theta}\\\\ \u0026\\quad +\\frac{\\sin^2\\theta}{r}u_r-\\frac{\\sin\\theta\\cos\\theta}{r}u_{r\\theta}+\\frac{\\sin\\theta\\cos\\theta}{r^2}u_\\theta+\\frac{\\sin^2\\theta}{r^2}u_{\\theta\\theta} \\end{aligned} $$合并同类项：\n$$ u_{xx}=\\cos^2\\theta\\,u_{rr}+\\frac{\\sin^2\\theta}{r}u_r+\\frac{2\\sin\\theta\\cos\\theta}{r^2}u_\\theta-\\frac{2\\sin\\theta\\cos\\theta}{r}u_{r\\theta}+\\frac{\\sin^2\\theta}{r^2}u_{\\theta\\theta} $$第四步：算 $u_{yy}$（结构与 $u_{xx}$ 类似） 把 $\\partial/\\partial y$ 套到 $u_y$ 上：\n$$u_{yy}=\\left(\\sin\\theta\\frac{\\partial}{\\partial r}+\\frac{\\cos\\theta}{r}\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\right)\\!\\left(\\sin\\theta\\,u_r+\\frac{\\cos\\theta}{r}u_\\theta\\right)$$逐项处理后合并，得\n$$ u_{yy}=\\sin^2\\theta\\,u_{rr}+\\frac{\\cos^2\\theta}{r}u_r-\\frac{2\\sin\\theta\\cos\\theta}{r^2}u_\\theta+\\frac{2\\sin\\theta\\cos\\theta}{r}u_{r\\theta}+\\frac{\\cos^2\\theta}{r^2}u_{\\theta\\theta} $$ 怎么从 $u_{xx}$ 推 $u_{yy}$：把 $u_x$ 表达式里的 $\\cos\\theta$、$\\sin\\theta$ 互换位置（$\\sin\\theta\\to\\cos\\theta$、$\\cos\\theta\\to\\sin\\theta$）并注意 $1/r$ 那一项的符号变化。最稳妥还是按第三步同样的方法算一遍。\n第五步：$u_{xx}+u_{yy}$ 相加 项 $u_{xx}$ 系数 $u_{yy}$ 系数 和 $u_{rr}$ $\\cos^2\\theta$ $\\sin^2\\theta$ $1$ $u_r$ $\\sin^2\\theta/r$ $\\cos^2\\theta/r$ $1/r$ $u_\\theta$ $2\\sin\\theta\\cos\\theta/r^2$ $-2\\sin\\theta\\cos\\theta/r^2$ $0$ $u_{r\\theta}$ $-2\\sin\\theta\\cos\\theta/r$ $2\\sin\\theta\\cos\\theta/r$ $0$ $u_{\\theta\\theta}$ $\\sin^2\\theta/r^2$ $\\cos^2\\theta/r^2$ $1/r^2$ 交叉项（$u_\\theta$、$u_{r\\theta}$ 的系数）相消，剩下的用 $\\sin^2\\theta+\\cos^2\\theta=1$ 化简：\n$$u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\\frac{1}{r}u_r+\\frac{1}{r^2}u_{\\theta\\theta}$$右边正好等于\n$$\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\!\\left(r\\frac{\\partial u}{\\partial r}\\right)+\\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 u}{\\partial\\theta^2}$$（验证：$\\dfrac{1}{r}\\dfrac{\\partial}{\\partial r}(ru_r)=\\dfrac{1}{r}(u_r+ru_{rr})=\\dfrac{u_r}{r}+u_{rr}$。）\n第六步：加上 $u_{zz}$ $z$ 在两种坐标下都是自身，$\\partial^2 u/\\partial z^2$ 形式不变，所以\n$$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\!\\left(r\\frac{\\partial u}{\\partial r}\\right)+\\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 u}{\\partial\\theta^2}+\\frac{\\partial^2 u}{\\partial z^2}$$证毕。\n验证 取 $u=r^2=x^2+y^2$（与 $\\theta$、$z$ 无关），验证 $xy$ 平面部分：\n左边：$u_{xx}+u_{yy}=2+2=4$； 右边：$u_r=2r$，$u_{rr}=2$，$u_\\theta=0$，代入 $u_{rr}+(1/r)u_r+(1/r^2)u_{\\theta\\theta}=2+2+0=4$。一致。 小结 本题的\u0026quot;巧\u0026quot;在于把算子 $\\partial/\\partial x$ 也用 $(r,\\theta)$ 展开。如果直接把 $\\partial/\\partial y$ 写成 $\\sin\\theta\\,\\partial/\\partial r+\\cos\\theta\\,\\partial/\\partial \\theta$（漏掉了那个 $\\dfrac{1}{r}$ 因子），后面所有符号都会错。本题计算量大，关键是细心记号。\n五、切平面过定点：空间几何综合（习题 7.4.17） 题目 设 $f$ 是具有连续偏导数的二元函数，证明：曲面\n$$f\\!\\left(\\frac{x-a}{z-c},\\frac{y-b}{z-c}\\right)=0$$上任意一点处的切平面都经过同一定点。\n思路 切平面过定点的题，标准打法是：\n写出曲面在任意一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程； 把候选定点 $(a,b,c)$ 代进去； 验证方程恒为零。 候选定点几乎一定是 $(a,b,c)$：曲面方程里出现了 $(x-a)$、$(y-b)$、$(z-c)$，这三个因子在 $(a,b,c)$ 处同时为零，于是偏导前面的系数都会被压成零。\n第一步：装配复合函数 设 $u=\\dfrac{x-a}{z-c}$，$v=\\dfrac{y-b}{z-c}$，则 $F(x,y,z)=f(u,v)$，曲面方程为 $F(x,y,z)=0$。\n为避免符号混淆，约定 $f_1=\\partial f/\\partial u$，$f_2=\\partial f/\\partial v$。\n第二步：求三个偏导 由链式法则：\n$$F_x=f_1\\cdot\\frac{\\partial u}{\\partial x}=f_1\\cdot\\frac{1}{z-c}$$$$F_y=f_2\\cdot\\frac{\\partial v}{\\partial y}=f_2\\cdot\\frac{1}{z-c}$$$$ \\begin{aligned} F_z\u0026=f_1\\cdot\\frac{\\partial u}{\\partial z}+f_2\\cdot\\frac{\\partial v}{\\partial z}\\\\ \u0026=f_1\\cdot\\left(-\\frac{x-a}{(z-c)^2}\\right)+f_2\\cdot\\left(-\\frac{y-b}{(z-c)^2}\\right)\\\\ \u0026=-\\frac{f_1(x-a)+f_2(y-b)}{(z-c)^2} \\end{aligned} $$要求 $z\\neq c$，否则 $u$、$v$ 无意义。\n第三步：写出切平面方程 设 $(x_0,y_0,z_0)$ 是曲面上一点（$z_0\\neq c$），切平面为\n$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$把 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 代入：\n$$\\frac{f_1}{z_0-c}(x-x_0)+\\frac{f_2}{z_0-c}(y-y_0)-\\frac{f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)}{(z_0-c)^2}(z-z_0)=0$$两边乘以 $(z_0-c)^2$ 化简：\n$$(z_0-c)\\bigl[f_1(x-x_0)+f_2(y-y_0)\\bigr]-\\bigl[f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)\\bigr](z-z_0)=0$$第四步：代入 $(a,b,c)$ 看是否成立 把 $x=a$、$y=b$、$z=c$ 代入上式。注意三组等式：\n$a-x_0=-(x_0-a)$，$b-y_0=-(y_0-b)$； $c-z_0=-(z_0-c)$。 于是\n$$ \\begin{aligned} \u0026\\;(z_0-c)\\bigl[f_1(a-x_0)+f_2(b-y_0)\\bigr]-\\bigl[f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)\\bigr](c-z_0)\\\\ =\u0026\\;(z_0-c)\\bigl[-f_1(x_0-a)-f_2(y_0-b)\\bigr]+\\bigl[f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)\\bigr](z_0-c)\\\\ =\u0026\\;-(z_0-c)\\bigl[f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)\\bigr]+(z_0-c)\\bigl[f_1(x_0-a)+f_2(y_0-b)\\bigr)\\\\ =\u0026\\;0 \\end{aligned} $$等式恒成立。因此 $(a,b,c)$ 在曲面上每一点的切平面上。证毕。\n小结 本题的灵魂在于\u0026quot;把曲面写成以 $(a,b,c)$ 为中心的复合结构\u0026quot;。一旦写成 $u=\\dfrac{x-a}{z-c}$、$v=\\dfrac{y-b}{z-c}$ 的形式，$(a,b,c)$ 处的 $x-a=0$、$y-b=0$、$z-c=0$ 会让三个偏导前的因子同时为零，整个表达式自动抵消。\n","permalink":"https://northvision.cn/posts/multi-var-calculus-5-problems/","summary":"\u003ch2 id=\"一连续性判定放缩--夹逼习题-7133\"\u003e一、连续性判定：放缩 + 夹逼（习题 7.1.3(3)）\u003c/h2\u003e\n\u003ch3 id=\"题目\"\u003e题目\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e设\u003c/p\u003e\n$$z=\\begin{cases}\\dfrac{\\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}, \u0026 x^2+y^2\\neq 0\\\\[4pt] 0, \u0026 x^2+y^2=0\\end{cases}$$\u003cp\u003e讨论 $z$ 在原点 $(0,0)$ 处是否连续。\u003c/p\u003e\n\u003ch3 id=\"思路\"\u003e思路\u003c/h3\u003e\n\u003cp\u003e分段函数在分段点处讨论连续性，就是验证：当 $(x,y)\\to(0,0)$ 时，$z(x,y)$ 的极限是否等于 $z(0,0)=0$。\u003c/p\u003e","title":"多元函数微分学五题精讲"}]